EQUAÇÕES LOGARITMICAS

Equações são sentenças matemáticas que utilizam números e letras ou somente letras na sua composição, seguida de sinais operatórios. O principal objetivo das equações é determinar o valor desconhecido através de resoluções que atendam regras matemáticas. No caso das equações logarítmicas, temos que a incógnita está presente no logaritmando ou na base do logaritmando. A resolução é feita utilizando as regras operatórias envolvendo logaritmos. Observe a resolução de algumas equações logarítmicas:

Exemplo 1

log _x–16 = 1

Restrição:
x – 1 > 0
x > 1

x – 1 ≠ 1
x ≠ 1 + 1
x ≠ 2

Resolução:

log _{x – 1} 6 = 1
(x – 1)¹ = 6
x – 1 = 6
x = 6 + 1
x = 7

Temos que x = 7, satisfazendo a condição de existência determinada pela restrição. Portanto, conjunto solução verdadeiro.



Exemplo 2

log ₅ (x + 2) = 2

Restrição:

x + 2 > 0
x > – 2

Resolução:
log ₅ (x + 2) = 2
x + 2 = 5²
x + 2 = 25
x = 25 – 2
x = 23
O conjunto solução x = 23, satisfaz a condição de existência x > –2. Portanto, conjunto solução verdadeiro.



Exemplo 3

log _{x + 2} (2x² + x) = 1

Restrição:

x + 2 > 0
x > – 2

x + 2 ≠ 1
x ≠ 1 – 2
x ≠ – 1

2x² + x > 0
x*(2x + 1) > 0
x > 0
2x + 1 > 0
2x > – 1
x > –1/2

Resolução:

log _{x + 2} (2x² + x) = 1
2x² + x = (x + 2)¹
2x² + x = x + 2
2x² + x – x – 2 = 0
2x² – 2 = 0
2x² = 2
x² = 2/2
x² = 1
√x² = √1
x’ = – 1
x’’ = 1

De acordo com as restrições entre os resultados x’ = 1 e x’’ = –1, temos que considerar somente x = 1, de forma a tornar o conjunto solução verdadeiro.


Exemplo 4

log₂x + log₂ (x – 2) = log₂28

Restrição:

x > 0

x – 2 > 0
x > 2


log₂x + log₂ (x – 2) = log₂28
log₂ x * (x – 2) = log₂28
x * (x – 2) = 8
x² – 2x – 8 = 0

Aplicando Bháskara

∆ = 36

x’ = 4
x’’ = – 2

De acordo com as restrições, devemos considerar somente x = 4, tornando a solução verdadeira.

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