EQUAÇÕES POLINOMIAIS - II

Também se pode decompor o polinômio P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0 em n fatores de primeiro grau:
P(x)=an(x−a1)(x−a2)(x−a3)…(x−an) onde a1,a2,…,an são raízes da equação polinomial.
a. Raízes múltiplas
Pode ocorrer que uma ou mais raízes sejam iguais, nesse caso essas raízes são definidas como múltiplas, por exemplo:

P(x)=4(x−1)(x−1)(x−2)(x−2)(x−2)(x−8)

Note a multiplicidade da raiz 1 (2 vezes) e da raiz 2 (3 vezes). Denomina-se que a equação polinomial P(x) possui a raiz 1 com multiplicidade 2, a raiz 2 de multiplicidade 3 e a raiz 8 de multiplicidade 1.
b. Raízes complexas e reais
"Toda equação polinomial, de grau n, com n ≥ 1 possui pelo menos 1 raiz complexa (real ou imaginário)".
Obs.: Lembrar que os números complexos englobam os números reais, ou seja, um número real é também um número complexo.
"Toda equação polinomial que possua uma raiz imaginária possuirá também o conjugado dessa raiz como raiz".
Ou seja, se z=a+bi é raiz de uma equação polinomial z=a−bi também será raiz. Sendo a,b∈? e i2=−1 .
Exemplo: Sabendo-se que a equação polinomial x3−2x2+x−2=0 possui uma raiz imaginária igual a i, com i2=−1 encontrar as outras raízes.
Se i é uma raiz então -i, seu conjugado, é outra e consegue-se encontrar a terceira raiz que é 2.
c. Raízes racionais
"Se um número racional pq , com p e q primos entre si, é raiz de uma equação polinomial de coeficientes inteiros do tipo
     P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a 1x+a0 então p é
 divisor de a0 e q é divisor de an ".
Exemplo:
P(x)=2x3−x2+2x−1 , pesquisar as possíveis raízes racionais.
an=a3=2a0=−1
As possíveis raízes serão:
{1,12,−1,−2}
Testando para o polinômio P(x) verifica-se que somente P(12)=0 , sendo essa e a raiz racional do polinômio.
Note que os coeficientes da equação polinomial obrigatoriamente devem ser números inteiros.

Carlos Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

Números primos entre si:

Os números 20 e 21 não são números primos. Como sabemos, tanto o 20, quanto o 21 possuem vários divisores.
Os divisores de 20 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Já os divisores de 21 são: 1, 3, 7 e 21.
Observamos que o número 1 é o único divisor comum ao 20 e ao 21.
Em função disto, 20 e 21 são números primos entre si.
Chamamos de números primos entre si um conjunto de dois ou mais números naturais cujo único divisor comum a todos eles seja o número 1.