EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio:
p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos:

x⁴ + 9x² – 10x + 3 = 0
10x⁶ – 2x⁵ + 6x⁴ + 12x³ – x² + x + 7 = 0
x⁸ – x⁶ – 6x + 2 = 0
x¹⁰ – 6x² + 9 = 0

As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.


Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)

Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.

Exemplo 1

Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação:
2x⁴ + kx³ – 5x² + x – 15 = 0

Se 2 é raiz da equação, então temos:

2(2)⁴ + k(2)³ – 5(2)² + 2 – 15 = 0
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0
8k + 34 – 35 = 0
8k – 1 = 0
8k = 1
k = 1/8
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.

Exemplo 2

Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx³ + (m + 2)x² – 3x – m – 8 = 0.

Temos que:

m(–3)³ + (m + 2)( –3)² – 3(–3) – m – 8 = 0
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9
– 19m = –19
m = 1

O valor de m é 1. 

Por Marcos Noé
Graduao em Matemática
Equipe Brasil Escola