ROTAÇÕES E NÚMEROS COMPLEXOS

Geometria Analítica e Vetores Atualidade e Simplicidade no Ensino da Geometria

9. A rotação de vetores de 90° nos sentidos horário (direita) e anti-horário (esquerda, volver!).

Dizemos que o vetor w é uma rotação por um ângulo α do vetor v quando w tem o mesmo módulo do vetor v, ||w||=||v||, porém tem um ângulo de direção θ + α, que corresponde ao ângulo de direção de v adicionado de α (se α é positivo dizemos que a rotação é anti-horária, se é negativo, que a rotação é horária). Para rodar um vetor, basta obter seu módulo e sua direção, manter o módulo e adicionar o ângulo pretendido na direção.

Nos preocuparemos neste tópico com rotações α = 90° (no sentido anti-horário) e α = -90°, no sentido horário.
Para estes casos particulares o diagrama abaixo, com bandeirinhas, nos permite, a partir das componentes do vetor inicial v, concluir rapidamente quais são as componentes do vetores w e w', resultados das rotações horárias e anti-horárias de v.

Historicamente, o primeiro sistema vetorial conhecido foi o dos números complexos, o complexo z=a+ib era interpretado como o vetor v=<a,b>. Notem que então a rotação de +90° corresponde a multiplicar o complexo z por +i, enquanto que a rotação de -90° corresponde a multiplicar o complexo z por -i. De fato,

i (a+ib) = -b+ia, -i (a+ib) = b - ia.

Módulo de um Número Complexo

Temos duas formas de abordar o módulo de um número complexo, ambas apontando para a mesma definição, que é acerca doo comprimento, ou da distância do afixo do número complexo (Ponto C na imagem abaixo) até a origem do sistema de coordenadas. Vejamos a representação geométrica do que foi dito:

O módulo no gráfico acima está sendo representado por |z|, veja que se aplicarmos o teorema de Pitágoras no triângulo AOC, podemos obter uma expressão para o módulo de z , |z|.

Veja que foi utilizado um número complexo qualquer, portanto, a expressão obtida para o módulo de um número complexo é válida para qualquer número complexo.

Foi mostrado anteriormente duas formas do módulo número complexo: sendo calculado algebricamente pela expressão acima e o módulo sendo representado geometricamente.

Analise o quanto é fácil encontrar o módulo de um número complexo:

Assim, podemos encontrar um conjunto no qual as distâncias sejam iguais a um determinado número.

Represente no plano de Argand-Gauss, o subconjunto A do conjunto dos números complexos, onde:

 

Necessitamos determinar um valor qualquer para o número complexo w, portanto, façamos w=x+yi, onde que x e y são números reais.

Note que se trata de uma equação de uma circunferência de centro (0,0) e raio 5.

Sendo assim, vimos algumas das aplicações do conceito de módulo, assim como a expressão para calculá-lo.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática

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