ROTAÇÕES E NÚMEROS COMPLEXOS

Geometria Analítica e Vetores Atualidade e Simplicidade no Ensino da Geometria

9. A rotação de vetores de 90° nos sentidos horário (direita) e anti-horário (esquerda, volver!).

Dizemos que o vetor w é uma rotação por um ângulo α do vetor v quando w tem o mesmo módulo do vetor v, ||w||=||v||, porém tem um ângulo de direção θ + α, que corresponde ao ângulo de direção de v adicionado de α (se α é positivo dizemos que a rotação é anti-horária, se é negativo, que a rotação é horária). Para rodar um vetor, basta obter seu módulo e sua direção, manter o módulo e adicionar o ângulo pretendido na direção.

Nos preocuparemos neste tópico com rotações α = 90° (no sentido anti-horário) e α = -90°, no sentido horário.
Para estes casos particulares o diagrama abaixo, com bandeirinhas, nos permite, a partir das componentes do vetor inicial v, concluir rapidamente quais são as componentes do vetores w e w', resultados das rotações horárias e anti-horárias de v.

Historicamente, o primeiro sistema vetorial conhecido foi o dos números complexos, o complexo z=a+ib era interpretado como o vetor v=<a,b>. Notem que então a rotação de +90° corresponde a multiplicar o complexo z por +i, enquanto que a rotação de -90° corresponde a multiplicar o complexo z por -i. De fato,

i (a+ib) = -b+ia, -i (a+ib) = b - ia.