Também se pode decompor o polinômio
P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a1x+a0 em
n fatores de primeiro grau:
P(x)=an(x−a1)(x−a2)(x−a3)…(x−an) onde
a1,a2,…,an são raízes da equação polinomial.
a. Raízes múltiplas
Pode ocorrer que uma ou mais raízes sejam iguais, nesse caso essas raízes são definidas como múltiplas, por exemplo:
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P(x)=4(x−1)(x−1)(x−2)(x−2)(x−2)(x−8)
|
Note a multiplicidade da raiz 1 (2 vezes) e da raiz 2 (3 vezes). Denomina-se que a equação polinomial
P(x) possui a raiz 1 com multiplicidade 2, a raiz 2 de
multiplicidade 3 e a raiz 8 de
multiplicidade 1.
b. Raízes complexas e reais
"Toda equação polinomial, de grau
n, com
n ≥ 1 possui pelo menos 1 raiz complexa (real ou imaginário)".
Obs.: Lembrar que os números complexos englobam os números reais, ou seja, um número real é também um número complexo.
"Toda equação polinomial que possua uma raiz imaginária possuirá também o conjugado dessa raiz como raiz".
Ou seja, se
z=a+bi é raiz de uma equação polinomial
z=a−bi também será raiz. Sendo
a,b∈? e
i2=−1 .
Exemplo: Sabendo-se que a equação polinomial
x3−2x2+x−2=0 possui uma raiz imaginária igual a
i, com
i2=−1 encontrar as outras raízes.
Se
i é uma raiz então
-i, seu conjugado, é outra e consegue-se encontrar a terceira raiz que é 2.
c. Raízes racionais
"Se um número racional
pq , com
p e
q primos entre si, é raiz de uma equação polinomial de
coeficientes inteiros do tipo
P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a2x2+a 1x+a0 então
p é
divisor de
a0 e
q é divisor de
an ".
Exemplo:
P(x)=2x3−x2+2x−1 , pesquisar as possíveis raízes racionais.
an=a3=2a0=−1
As possíveis raízes serão:
{1,12,−1,−2}
Testando para o polinômio
P(x) verifica-se que somente
P(12)=0 , sendo essa e a raiz racional do polinômio.
Note que os coeficientes da equação polinomial obrigatoriamente devem ser números inteiros.
Carlos
Alberto Campagner, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de
pós-graduação e consultor de informática.
Números primos entre si:
Os números
20 e
21 não são números primos. Como sabemos, tanto o
20, quanto o
21 possuem vários divisores.
Os divisores de
20 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Já os divisores de
21 são: 1, 3, 7 e 21.
Observamos que o número
1 é o único divisor comum ao
20 e ao
21.
Em função disto,
20 e
21 são números primos entre si.
Chamamos de
números primos entre si um conjunto de dois ou mais números naturais cujo único divisor comum a todos eles seja o número
1.
