Área e volume da Pirâmide

. Pirâmides regulares

Pirâmide: Uma figura espacial que possui uma face poligonal denominada base, e faces laterais em forma de triângulos com um vértice em comum. A distância deste vértice até a base da pirâmide é sua altura. A pirâmide é regular quando sua base for um polígono regular.

2.1 Pirâmide reta: A pirâmide é reta quando todos as faces laterais forem todas triângulos iguais. Neste caso a projeção do vértice da pirâmide sobre a base coincide com o centro geométrico da base.


Definições complementares

A_l → total da área lateral que é a soma das áreas dos triângulos laterais
A_b → área do polígono da base (vide fórmulas no artigo Quadrilátero - Cálculo de áreas)
h → altura da pirâmide (distância entre a base, perpendicular a ela, e o vértice)

Área total:
A_T = A_l + A_b

Volume da pirâmide:

2.2 Pirâmide oblíqua: É aquela em que os triângulos que formam as faces laterais são diferentes ente si. Neste caso, a projeção do vértice da pirâmide sobre a base não coincide com o centro geométrico da mesma.


As fórmulas para cálculo das áreas e do volume continuam as mesmas, pois a altura é sempre a distância entre o vértice e a base, perpendicular a ela ou ao plano que a contém.

3. Pirâmides e prismas especiais

Um prisma especial, por exemplo, é o cubo: trata-se de um prisma de bases quadradas e iguais às faces laterais, ou seja, a figura possui seis faces iguais formadas por quadrados.

Uma pirâmide especial, por exemplo, é o tetraedro: trata-se de uma pirâmide com base triangular regular e igual às faces laterais, ou seja, possui quatro faces iguais formadas por triângulos equiláteros.

Exemplo - Apótema da Pirâmide

Determine a medida do apótema da pirâmide a seguir, sabendo que sua altura mede 4,8 cm e o apótema da base mede 3,6 cm.

Resolução:
O apótema de uma pirâmide é o segmento que parte do vértice até a base da lateral, formando um ângulo reto, isto é, a medida da altura da face lateral.

a² = 3,6² + 4,8²
a² = 12,96 + 23,04
a² = 36
√a² = √36
a = 6 cm 

Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados do polígono da base.

Os segmentos AV, BV e CV são as arestas laterais da pirâmide.
Os pontos A, B, C e V são os vértices.
Os triângulos VAB,VBC e VCA são as faces laterais.
O triângulo ABC é outra face da pirâmide e constitui a base.
A distância do ponto V ao centro da base constitui a altura da pirâmide.

A classificação de uma pirâmide depende do número de arestas da região da área da base.

Base é um triângulo
Nome: pirâmide triangular
Número de faces: três faces laterais mais face da base, portanto, quatro faces.

Base é um quadrado
Nome: pirâmide quadrangular
Número de faces: quatro faces laterais mais face da base, portanto, cinco faces.

Base é um pentágono
Nome: pirâmide pentagonal
Número de faces: cinco faces laterais mais face da base, portanto, seis faces.

Base é um hexágono
Nome: pirâmide de base hexagonal
Número de faces: seis faces laterais mais face da base, portanto, sete faces.

 
Pirâmide triangular                   Pirâmide quadrangular                        Pirâmide pentagonal



Altura, apótema da base e apótema da pirâmide

h: altura da pirâmide
m’: apótema da pirâmide
m: apótema da base

Pelo teorema de Pitágoras temos:
m’² = h² + m²



 

Área e volume do cilindro

O cilindro, como todo sólido geométrico, possui um volume que determina a sua capacidade. Todo cilindro possui uma base no formato de circunferência de raio r e uma altura h. Seu volume é dado através da multiplicação entre a área da base no formato circular e a medida da altura h. Observe:

Área da base circular → Ab = π * r²

Volume
V = Ab * h → V = π * r² * h

Esse tipo de sólido geométrico é muito utilizado no cotidiano como reservatório de substâncias liquidas e gasosas.

Quando trabalhamos com sólidos geométricos precisamos relembrar as principais relações entre as medidas de volume e de capacidade, veja:

1 m³ (metro cúbico) = 1 000 litro
1 dm³ (decímetro cúbico) = 1 litro
1 cm³ (centímetro cúbico) = 1 ml

Exemplo 1

Um tanque no formato cilíndrico é utilizado no armazenamento de combustível de uma transportadora de produtos alimentícios. As medidas desse tanque são as seguintes: raio da base medindo 4 metros e altura igual a 12 metros. Deseja-se encher esse tanque com óleo diesel para abastecer a frota de 150 caminhões que possuem o tanque também no formato cilíndrico, medindo 1,5 metros de altura e raio da base medindo 90 centímetros. Verifique se a quantidade de óleo diesel a ser armazenado no tanque da empresa é necessária para abastecer todos os caminhões uma única vez durante um dia, considerando que o combustível dos caminhões esteja bem próximo de acabar.

Volume do tanque da empresa
V = π * r² * h
V = 3,14 * 4² * 12
V = 3,14 * 16 * 12
V = 602,88 m³

Volume do tanque de cada caminhão
90 centímetros equivale a 0,9 metros
V = π * r² * h
V = 3,14 * 0,9² * 1,5
V = 3,14 * 0,81 * 1,5
V = 3,8151 m³

Quantidade necessária de combustível para abastecer a frota:

150 * 3,8151 = 572,27 m³

A capacidade total do tanque de armazenamento é de 602,88 m³ e a quantidade necessária para abastecer todos os caminhões é de 572,27 m³, então o óleo diesel do tanque é suficiente para abastecer toda a frota e ainda sobram 30,61 m³ de óleo.


Exemplo 2

Deseja-se construir um tanque no formato cilíndrico com volume de, aproximadamente, 250 m³ (metros cúbicos) e altura igual a 9 metros. Determine a medida aproximada do raio da base.

V = π * r² * h
250 = 3,14 * r² * 9
250 = 28,26 * r²
r² = 250 / 28,26
r² = 8,84
√r² = √8,84
r = 2,9 m (aproximadamente)

Cilindro Circular

Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta s secante a esses planos e um círculo C de centro O contido em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a s, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente ao círculo C e o outro extremo pertencente a β.

A reunião de todos esses segmentos de reta é um sólido chamado de cilindro circular, limitado de bases C e C’ ou simplesmente cilindro circular.

Cilindro circular reto

No cilindro circular reto a geratriz forma com o plano da base um ângulo de 90º. No cilindro circular reto a medida h de uma geratriz é a altura do cilindro.

O cilindro circular reto também é conhecido por cilindro de revolução, pois pode ser obtido pela revolução de 360º de uma região retangular em torno de um eixo.

Cilindro equilátero

O cilindro que possui as seções meridianas quadradas é chamado de cilindro equilátero.
No cilindro equilátero a altura é igual ao diâmetro da base: h = 2r.

Área Lateral e Área total de um cilindro circular reto

A superfície de um cilindro reto de altura h e raio da base r é equivalente à reunião de uma região retangular, de lados 2πr e h, com dois círculos de raio r. Observe a planificação do cilindro.

A área do retângulo equivalente à superfície lateral do cilindro é a área lateral Aℓ do cilindro, ou seja:

Aℓ = 2*π*r*h

A área total At do cilindro é igual à soma da área lateral Aℓ com as áreas das duas bases, ou seja:

At = 2*π*r*h + π*r² + π*r² → At = 2*π*r*h + 2π*r²

Intervalos Reais

INTERVALOS REAIS E A REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA

O conjunto dos números reais é formado a partir da união dos seguintes conjuntos:

Números Naturais: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,....)
Números Inteiros: (....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....)
Números Racionais: (números na forma de a/b, com b≠0 e decimais periódicos. Ex:
1/2; 3/5; 0,25; 0,33333.....)
Números Irracionais: (números decimais não periódicos. Ex. 0,2354658752485879.....)

Intervalo Real

Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ , {xЄR/a < x < b}
Aberto à esquerda e aberto à direita




Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b], {xЄR/a < x ≤ b}
Aberto à esquerda e fechado à direita




Intervalo fechado em a e aberto em b, [a,b[, {xЄR/a ≤ x < b}
Fechado à esquerda e aberto à direita



Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b], {xЄR/a ≤ x ≤ b}
Fechado à esquerda e fechado à direita

Intervalos infinitos

{xЄR/x > a}


{xЄR/x<a}


{xЄR/x≥a}



{xЄR/≤a}


Por Marcos Noé

Área e volume de prismas

 

 

PRISMAS - ÁREA SUPERFICIAL E VOLUME

 

 

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

   Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Prisma triangular	Prisma quadrangular	Prisma pentagonal	Prisma hexagonal
Base:Triângulo	Base:Quadrado	Base:Pentágono	Base:Hexágono

 Num prisma temos os seguintes elementos:

• bases (polígonos);          
• faces (paralelogramos);
• arestas das bases (lados das bases);
• arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases);
• vértices (pontos de encontro das arestas);
• altura (distância entre os planos das bases).

 

 

     

 

Planificação:

Principais sólidos

	Este sólido geométrico chama-se  cubo.  É um prisma em que todas as faces têm a forma de quadrados. Este sólido geométrico tem: 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
	Chamamos paralelepípedo a este prisma.  Todas as suas faces têm a forma de rectângulos. Tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
	Este sólido geométrico é chamado prisma triangular porque as suas bases são triângulos. Tem 6 vértices, 9 arestas, 5 faces e duas bases.
	O prisma quadrangular tem nas suas bases quadrados. Tem 8 vértices, 12 aresta, 6 faces e duas bases.
	Este sólido chama-se prisma pentagonal, porque as suas bases são pentágonos. Tem 10 vértices, 15 arestas, 7 faces e duas bases.

Área e Volume de um Prisma RetoPara calcular a área da superficie de um prisma, calcularemos a area das bases e a area das laterais (para calcular a area das laterais, calcularemos a area de todos os poligonos laterias e somaremos a área de todos eles), e somaremos a duas, formando a área total(At). Já para calcular o volume, usaremos a seguinte fórmula V = Bh, onde B é a área da base e h é a altura do prisma, que corresponde a aresta lateral do prisma.
Um prisma é regular se, e somente se, é reto e seus polígonos das bases são regulares.

Note que em todo prisma regular as faces laterais são retângulos congruentes entre si.
Paralelepípedo Reto-Retângulo

Todo prisma reto cujo polígono das bases são retângulos é chamado de paralelepípedo reto-retângulo.

Área total de um paralelepípedo retângulo

Consideremos um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões, comprimento, largura e altura, sejam as medidas a, b e c:



A área total paralelepípedo é a soma das áreas de suas seis faces. Temos, dentre essas faces, duas regiões retangulares de área ab, duas de área de área bc, Logo, a área total A, desse paralelepípedo é:

Área total do cubo cuja aresta mede a


Para aprender a determinar a área da superfície de um prisma recto, podemos utilizar como exemplo um prisma triangular cuja planificação se apresenta a seguir:

 

    A superfície lateral do prisma encontra-se sombreada a vermelho, e a sua área, a que se chama área lateral do prisma e se representa por A_l, é dada por  A_l = (a + b + c). h , sendo h a altura do prisma, ou seja, a distância entre as bases. Sombreada a cinzento está a superfície correspondente às duas bases. Representando a área de cada base por A_b, teremos então que a área total do prisma será A_t = A_l + 2A_b .

    Quanto ao cálculo do volume do prisma (recto ou oblíquo), este é igual ao volume do paralelepípedo (justificação pelo Princípio de Cavalieri). Consideremos um paralelepípedo e um prisma com a mesma altura, e em que a base do paralelepípedo tem a mesma área que a base do prisma.

   

    As secções feitas nestes dois sólidos por um plano paralelo às bases são polígonos com a mesma área, e portanto, pelo princípio de Cavalieri, estes dois sólidos têm o mesmo volume. Sendo assim, o volume do prisma é dado pela expressão V = A_b × h .

Planificação:

 

 



Sistemas de Equações com duas incógnitas

Quando tratamos  equações do 1° grau com duas variáveis sabemos que a equação x + y = 20 admite infinitas soluções, pois se não houver restrições como as do exemplo na página em questão, podemos atribuir qualquer valor a x, e para tornar a equação verdadeira, basta que calculemos y como sendo 20 - x.

A equação x - y = 6 pelos mesmos motivos, em não havendo restrições, também admite infinitas soluções.
Como as equações x + y = 20 e x - y = 6 admitem infinitas soluções podemos nos perguntar:
Será que dentre estas soluções existem aquelas que são comuns às duas equações, isto é, que resolva ao mesmo tempo tanto a primeira, quanto à segunda equação?
Este é justamente o tema deste tópico que vamos tratar agora.

Métodos de Resolução

Há vários métodos para calcularmos a solução deste tipo de sistema. Agora veremos os dois mais utilizados, primeiro o método da adição e em seguida o método da substituição.

Método da Adição

Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações, a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita.
Quando a simples soma não nos permite alcançar este objetivo, recorremos ao princípio multiplicativo da igualdade para multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor, de sorte que a equação equivalente resultante, nos permita obter uma equação com uma única incógnita.
A seguir temos outras explicações que retratam estas situações.

Quando o sistema admite uma única solução?

Tomemos como ponto de partida o sistema composto pelas duas equações abaixo:

Perceba que iremos eliminar o termo com a variável y, se somarmos cada um dos termos da primeira equação com o respectivo termo da segunda equação:

Agora de forma simplificada podemos obter o valor da incógnita x simplesmente passando o coeficiente 2 que multiplica esta variável, para o outro lado com a operação inversa, dividindo assim todo o segundo membro por 2:

Agora que sabemos que x = 13, para encontrarmos o valor de y, basta que troquemos x por 13 na primeira equação e depois isolemos y no primeiro membro:

Escolhemos a primeira e não a segunda equação, pois se escolhêssemos a segunda, teríamos que realizar um passo a mais que seria multiplicar ambos os membros por -1, já que teríamos -y no primeiro membro e não y como é preciso, no entanto podemos escolher a equação que quisermos. Normalmente iremos escolher a equação que nos facilite a realização dos cálculos.
Observe também que neste caso primeiro obtivemos o valor da variável x e em função dele conseguimos obter o valor de y, porque isto nos era conveniente. Se for mais fácil primeiro encontrarmos o valor da segunda incógnita, é assim que devemos proceder.
Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e determinado.

Quando o sistema admite uma infinidade de soluções?

Vejamos o sistema abaixo:

Note que somando todos os termos da primeira equação ao da segunda, não conseguiremos eliminar quaisquer variáveis, então vamos multiplicar os termos da primeira por -2 e então realizarmos a soma:

Veja que eliminamos não uma das variáveis, mas as duas. O fato de termos obtido 0 = 0 indica que o sistema admite uma infinidade de soluções.
Quando um sistema admite uma infinidade de soluções dizemos que ele é um sistema possível e indeterminado.

Quando o sistema não admite solução?

Vejamos este outro sistema:

Note que se somarmos os termos da primeira equação com os da segunda, também não conseguiremos eliminar nenhuma das variáveis, mas agora veja o que acontece se multiplicarmos por 2 todos os termos da primeira equação e realizarmos a soma das equações:

Obtivemos 0 = -3 que é inválido, este é o indicativo de que o sistema não admite soluções.
Quando um sistema não admite soluções dizemos que ele é um sistema impossível.

Método da Substituição

Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das variáveis. Feito isto substituímos na outra equação, a variável isolada pela expressão obtida no segundo membro da equação obtida quando isolamos a variável.
Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável.
O procedimento é menos confuso do que parece. A seguir veremos em detalhes algumas situações que exemplificam tais conceitos, assim como fizemos no caso do método da adição.

Quando o sistema admite uma única solução?

Para nos permitir a comparação entre os dois métodos, vamos utilizar o mesmo sistema utilizado no método anterior:

Vamos escolher a primeira equação e isolar a variável x:

Agora na segunda equação vamos substituir x por 20 - y:

Agora que sabemos que y = 7, podemos calcular o valor de x:

Quando o sistema admite uma infinidade de soluções?

Solucionemos o sistema abaixo:

Este sistema já foi resolvido pelo método da adição, agora vamos resolvê-lo pelo método da substituição.
Por ser mais fácil e gerar em um resultado mais simples, vamos isolar a incógnita y da primeira equação:

Agora na outra equação vamos substituir y por 10 - 2x:

Como obtivemos 0 = 0, o sistema admite uma infinidade de soluções.

Quando o sistema não admite solução?

Novamente vamos solucionar o mesmo sistema utilizado no método anterior:

Observe que é mais viável isolarmos a variável x da primeira equação, pois o seu coeficiente 2 é divisor de ambos coeficientes do primeiro membro da segunda equação, o que irá ajudar nos cálculos:

Agora substituímos x na segunda equação pelo valor encontrado:

Conforme explicado anteriormente, o resultado 0 = -3 indica que este sistema não admite soluções.

Exercícios para você treinar:

  http://www.matematicadidatica.com.br/SistemasEquacoesPrimeiroGrauDuasIncognitasExercicios.aspx