Sistemas de Equações com duas incógnitas

Quando tratamos equações do 1° grau com duas variáveis sabemos que a equação x + y = 20 admite infinitas soluções, pois se não houver restrições como as do exemplo na página em questão, podemos atribuir qualquer valor a x, e para tornar a equação verdadeira, basta que calculemos y como sendo 20 - x.

A equação x - y = 6 pelos mesmos motivos, em não havendo restrições, também admite infinitas soluções.
Como as equações x + y = 20 e x - y = 6 admitem infinitas soluções podemos nos perguntar:
Será que dentre estas soluções existem aquelas que são comuns às duas equações, isto é, que resolva ao mesmo tempo tanto a primeira, quanto à segunda equação?
Este é justamente o tema deste tópico que vamos tratar agora.

Métodos de Resolução

Há vários métodos para calcularmos a solução deste tipo de sistema. Agora veremos os dois mais utilizados, primeiro o método da adição e em seguida o método da substituição.

Método da Adição

Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das equações, a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita.
Quando a simples soma não nos permite alcançar este objetivo, recorremos ao princípio multiplicativo da igualdade para multiplicarmos todos os termos de uma das equações por um determinado valor, de sorte que a equação equivalente resultante, nos permita obter uma equação com uma única incógnita.
A seguir temos outras explicações que retratam estas situações.

Quando o sistema admite uma única solução?

Tomemos como ponto de partida o sistema composto pelas duas equações abaixo:

Perceba que iremos eliminar o termo com a variável y, se somarmos cada um dos termos da primeira equação com o respectivo termo da segunda equação:

Agora de forma simplificada podemos obter o valor da incógnita x simplesmente passando o coeficiente 2 que multiplica esta variável, para o outro lado com a operação inversa, dividindo assim todo o segundo membro por 2:

Agora que sabemos que x = 13, para encontrarmos o valor de y, basta que troquemos x por 13 na primeira equação e depois isolemos y no primeiro membro:

Escolhemos a primeira e não a segunda equação, pois se escolhêssemos a segunda, teríamos que realizar um passo a mais que seria multiplicar ambos os membros por -1, já que teríamos -y no primeiro membro e não y como é preciso, no entanto podemos escolher a equação que quisermos. Normalmente iremos escolher a equação que nos facilite a realização dos cálculos.
Observe também que neste caso primeiro obtivemos o valor da variável x e em função dele conseguimos obter o valor de y, porque isto nos era conveniente. Se for mais fácil primeiro encontrarmos o valor da segunda incógnita, é assim que devemos proceder.
Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e determinado.

Quando o sistema admite uma infinidade de soluções?

Vejamos o sistema abaixo:

Note que somando todos os termos da primeira equação ao da segunda, não conseguiremos eliminar quaisquer variáveis, então vamos multiplicar os termos da primeira por -2 e então realizarmos a soma:

Veja que eliminamos não uma das variáveis, mas as duas. O fato de termos obtido 0 = 0 indica que o sistema admite uma infinidade de soluções.
Quando um sistema admite uma infinidade de soluções dizemos que ele é um sistema possível e indeterminado.

Quando o sistema não admite solução?

Vejamos este outro sistema:

Note que se somarmos os termos da primeira equação com os da segunda, também não conseguiremos eliminar nenhuma das variáveis, mas agora veja o que acontece se multiplicarmos por 2 todos os termos da primeira equação e realizarmos a soma das equações:

Obtivemos 0 = -3 que é inválido, este é o indicativo de que o sistema não admite soluções.
Quando um sistema não admite soluções dizemos que ele é um sistema impossível.

Método da Substituição

Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das variáveis. Feito isto substituímos na outra equação, a variável isolada pela expressão obtida no segundo membro da equação obtida quando isolamos a variável.
Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável.
O procedimento é menos confuso do que parece. A seguir veremos em detalhes algumas situações que exemplificam tais conceitos, assim como fizemos no caso do método da adição.

Quando o sistema admite uma única solução?

Para nos permitir a comparação entre os dois métodos, vamos utilizar o mesmo sistema utilizado no método anterior:

Vamos escolher a primeira equação e isolar a variável x:

Agora na segunda equação vamos substituir x por 20 - y:

Agora que sabemos que y = 7, podemos calcular o valor de x:

Quando o sistema admite uma infinidade de soluções?

Solucionemos o sistema abaixo:

Este sistema já foi resolvido pelo método da adição, agora vamos resolvê-lo pelo método da substituição.
Por ser mais fácil e gerar em um resultado mais simples, vamos isolar a incógnita y da primeira equação:

Agora na outra equação vamos substituir y por 10 - 2x:

Como obtivemos 0 = 0, o sistema admite uma infinidade de soluções.

Quando o sistema não admite solução?

Novamente vamos solucionar o mesmo sistema utilizado no método anterior:

Observe que é mais viável isolarmos a variável x da primeira equação, pois o seu coeficiente 2 é divisor de ambos coeficientes do primeiro membro da segunda equação, o que irá ajudar nos cálculos: