EQUAÇÕES POLINOMIAIS

Equação polinomial ou algébrica é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio:
p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ de grau n, com n ≥ 1. Veja alguns exemplos:

x⁴ + 9x² – 10x + 3 = 0
10x⁶ – 2x⁵ + 6x⁴ + 12x³ – x² + x + 7 = 0
x⁸ – x⁶ – 6x + 2 = 0
x¹⁰ – 6x² + 9 = 0

As raízes de uma equação polinomial constituem o conjunto solução da equação. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução.


Teorema Fundamental da Álgebra (TFA)

Toda equação polinomial p(x) = 0, de grau n onde n ≥ 1, admite pelo menos uma raiz complexa.

Exemplo 1

Determine o valor do coeficiente K, sabendo que 2 é a raiz da equação:
2x⁴ + kx³ – 5x² + x – 15 = 0

Se 2 é raiz da equação, então temos:

2(2)⁴ + k(2)³ – 5(2)² + 2 – 15 = 0
2*16 + k*8 – 5*4 + 2 – 15 = 0
32 + 8k – 20 + 2 – 15 = 0
8k + 34 – 35 = 0
8k – 1 = 0
8k = 1
k = 1/8
Temos que o valor do coeficiente k é 1/8.

Exemplo 2

Determine o valor de m, sabendo que –3 é raiz da equação: mx³ + (m + 2)x² – 3x – m – 8 = 0.

Temos que:

m(–3)³ + (m + 2)( –3)² – 3(–3) – m – 8 = 0
m(–27) + (m + 2)(9) + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m + 18 + 9 – m – 8 = 0
–27m + 9m – m = 8 – 18 – 9
– 19m = –19
m = 1

O valor de m é 1. 

Por Marcos Noé
Graduao em Matemática
Equipe Brasil Escola

Números Complexos

A construção dos números complexos passou por diversos obstáculos, que levaram em média 300 anos para serem vencidos, desenvolvendo, assim, teorias referentes a esse conjunto numérico.

Aprenda como utilizar o i².

Historicamente, os números complexos começaram a ser estudados graças à grande contribuição do matemático Girolamo Cardano (1501-1576). Esse matemático mostrou que mesmo tendo um termo negativo em uma raiz quadrada era possível obter uma solução para a equação do segundo grau: x² – 10x +40 = 0. Essa contribuição foi de grande importância, pois até então os matemáticos não acreditavam ser possível extrair a raiz quadrada de um número negativo. A partir dos estudos de Girolamo Cardano, outros matemáticos estudaram sobre esse impasse na matemática, obtendo uma formalização rigorosa com Friedrich Gauss (1777-1855).
O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, afinal ele contém todos os outros conjuntos. É necessário, pois, compreender os processos das operações (aritméticas, trigonométricas, algébricas) envolvendo elementos desse conjunto, assim como a representação geométrica dos números complexos.
Portanto, nessa seção serão abordados assuntos como: concepções básicas do número complexo, operações aritméticas com números complexos, operações trigonométricas com os números complexos, o Plano de Argand-Gauss, entre outros artigos que se relacionam com os números complexos – números de grande importância e aplicabilidade.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma: a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária.

Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos teremos:

z1 + z2
(a + bi) + (c + di)

a + bi + c + di

a + c + bi + di

a + c + (b + d)i

(a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

(6 + 5i) + (2 – i)
6 + 5i + 2 – i
6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:

z1 - z2
(a + bi) - (c + di)

a + bi – c – di

a – c + bi – di

(a – c) + (b – d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:

(4 + 5i) – (-1 + 3i)
4 + 5i + 1 – 3i
4 + 1 + 5i – 3i
5 + (5 – 3)i
5 + 2i

Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.

Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:

z1 . z2
(a + bi) . (c + di)

ac + adi + bci + bdi²
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i

Portanto, z1 . z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Exemplo:

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:

(5 + i) . (2 - i)
5 . 2 – 5i + 2i – i²
10 – 5i + 2i + 1
10 + 1 – 5i + 2i
11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática

Conjugado de um Número Complexo

O conjugado de um número complexo é o número complexo .
Observe que tanto z, quanto o seu conjugado possuem a mesma parte real, mas as partes imaginárias são opostas. Quando ambas as partes, real e imaginária, são iguais, os números também o são. A igualdade só ocorre nestas condições.
As raízes imaginárias x₁ e x₂ da equação x² + 2x + 5 = 0, solucionada mais acima, são conjugadas uma da outra:

Divisão de Números Complexos

A divisão de números complexos é realizada multiplicando o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor.
Observe no último exemplo de multiplicação acima que ao multiplicarmos o número imaginário 5 + 8i pelo seu conjugado 5 - 8i obtivemos como resultado o número real 89.
A multiplicação de um número imaginário pelo seu conjugado sempre resulta em um número real e isto pode ser utilizado para realizar a divisão de números complexos.
Agora vejamos este exemplo de divisão:

Para começar vamos multiplicar o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor como explicado acima:

Para realizar o produto no denominador vamos recorrer aos produtos notáveis, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos, onde temos que:

Continuando o processo da divisão temos:


Note que inicialmente tínhamos o divisor imaginário 2 - 7i e no final temos o divisor real 53. É por isto que utilizamos o conjugado como expediente para realizar a divisão, assim conseguimos transformar um divisor imaginário em um divisor real, o que facilita muito as coisas, como pudemos ver na passagem do penúltimo para o último passo.

Exemplos da Divisão de Números Complexos

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Texto da Faculdade de Coimbra:

Que importância têm os números imaginários na nossa vida?

Apesar de se provar a existência dos números complexos, eles continuam a ser estranhos para nós, pois têm menos relação com o mundo real que os outros números já nossos conhecidos. Um número imaginário não serve para medir a quantidade de água num copo nem para contar o número de dedos que temos!

No entanto, existem algumas medidas no nosso mundo onde os números imaginários são medidores perfeitos. Um campo electromagnético é um exemplo: tem uma componente eléctrica e outra magnética e por isso, é preciso um par de números reais para o descrever. Este par pode ser visto como um número complexo e encontramos, assim, uma aplicação directa na Física, para a estranha regra da multiplicação de números complexos.

Existem poucas aplicações directas dos números complexos no dia-a-dia. No entanto, há muitas aplicações indirectas.
Muitas propriedades dos números reais só se tornaram conhecidas quando estes foram vistos como parte do Conjunto dos Números Complexos.

É como tentar perceber uma sombra.
Uma sombra pertence a um mundo a duas dimensões. Portanto, só lhe é aplicável conceitos que utilizem duas dimensões.
No entanto, pensarmos no objecto de três dimensões que a provoca  poderá ajudar-nos a perceber certas propriedades do mundo a duas dimensões, apesar de não haver aplicação directa de um mundo no outro.

Da mesma forma, mesmos não existindo aplicação directa entre o mundo real e os números complexos, estes poderão ajudar-nos a compreender muita coisa do nosso mundo.

A próxima analogia ajudará a perceber melhor.

Consideremos a População A com 236 pessoas, das quais 48 são crianças e a População B com 123 crianças em 1234 pessoas.
Efectivamente, 48/236 (aprox. 0,2) é maior que 123/1234 (aprox.0,1). Portanto, a Pop. A é mais nova que a Pop. B.

Neste exemplo são usadas fracções, números não inteiros, num problema onde não têm significado físico. Não podemos medir populações com fracções; não podemos ter meia pessoa, por exemplo! Os números que têm ligação directa com esta questão são os naturais.

As fracções, neste contexto, são tão estranhas como o são os complexos na maioria das medições do mundo real.
No entanto, o seu uso servir-nos para melhor entender uma situação do mundo real.

Da mesma forma, o uso dos complexos ajuda-nos a compreender vários acontecimentos que, directamente, só se relacionam com os números reais.

Por exemplo, em Engenharia, é usual ter de se resolver equações da forma y'' + by' + cy = 0, para a função desconhecida y.
Uma forma de resolver passa por achar as raízes do polinómio, em r, r² + br + c = 0. Mas, sucede diversas vezes não conseguirmos achar raízes reais e só encontramos complexas. O que se faz é achar todas as raízes no conjuntos dos números complexos e depois considerarmos apenas aquelas que, afinal, são reais.
No início e no fim só consideramos reais mas, pelo meio os complexos foram precisos.

Uma vez que este tipo de equações (chamadas Equações Diferenciais) surgem constantemente em problemas que representam o mundo real, por exemplo em Engenharia, podemos afirmar que os números complexos têm utilidade na nossa vida.

 

GEOMETRIA ANALÍTICA - EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

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Geometria Analítica: Circunferência

  
Equações da circunferência
Equação reduzida
    Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

   Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(d_CP) é o raio dessa circunferência. Então:

    Portanto, (x - a)² + (y - b)² =r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .

Equação geral

   Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

    Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

   A equação reduzida da circunferência é:

( x - 2 )² +( y + 3 )² = 16

   Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

GEOMETRIA ANALÍTICA - ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR

Área de uma região triangular através do determinante

A expressão para o cálculo de área de uma região triangular é conhecida desde os primeiros passos da geometria na escola. Entretanto, quando mesclamos este conceito com a geometria analítica é necessário abarcarmos também conceitos do cálculo de determinantes.

 

Bem, sabemos que os elementos que fundamentam a geometria analítica são os pontos e suas coordenadas, já que através destes podemos calcular distâncias, coeficientes angulares das retas e áreas de figuras planas.

Dentre os cálculos das áreas de figuras planas, existe uma expressão que determina a área de uma região triangular utilizando apenas as coordenadas dos vértices do triângulo.

Portanto, consideremos um triângulo com vértices de coordenadas quaisquer e assim vejamos como calcular a área desse triângulo apenas com as coordenadas dos seus vértices.

O parâmetro D é determinado pela matriz das coordenadas dos vértices do triângulo ABC.

 

Note que o parâmetro D é a mesma matriz determinante para verificar a condição de alinhamento de três pontos (ver Condição de alinhamento de três pontos).

Assim sendo, caso você verifique a área de um suposto triângulo e o determinante dê zero, saiba que na verdade esses três pontos não constituem um triângulo, pois estão alinhados (por isso a área é zero).

Uma observação importante em relação à expressão para o cálculo da área é quanto ao Parâmetro D estar em módulo, ou seja, usaremos o seu valor absoluto. Por se tratar de área, não devemos adotar um determinante negativo, pois isso resultará em uma área negativa e isso não existe.

Vejamos um exemplo para uma melhor compreensão:

“Determine a área da região triangular que tem como vértices os pontos A (4,0), B (0,0) e C (2,2)”.

Portanto, a área da região triangular do triângulo ABC é de 4 u.a (unidades de área).

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática
Equipe BrasilEscola

FUNÇÃO AFIM

FUNÇÃO AFIM OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

Para a confecção de apostilas uma gráfica cobra um valor de R$ 5,00 referentes ao custo da capa, contra-capa e da encadernação, mais um valor de R$ 0,50 para cada página da apostila.
Repare que há uma relação de dependência entre duas grandezas, o número de páginas da apostila e o seu custo total.
Para cada número de páginas existe um valor único para a apostila. Estamos então diante de uma função que pode ser definida como:

Ou, se trabalharmos com números fracionários, por:

Graficamente temos a seguinte representação da função no plano cartesiano:
Toda função na forma , com ( e ) é denominada função afim, ou função polinomial do 1° grau. Como sabemos, o polinômio ax + b é um polinômio do primeiro grau na variável x.
Como podemos observar o gráfico desta função é formado por uma reta. Toda função afim é representada no plano cartesiano por uma reta não paralela ao eixo x, ou eixo das abscissas.
Normalmente f(x) é representado pela letra y, como no caso deste gráfico. Então a função também pode ser definida por:

Representação Gráfica de uma Função Afim

Para montarmos o gráfico de uma função polinomial do 1° grau basta conhecermos dois pares ordenados cujo primeiro elemento pertence ao domínio da função e o segundo pertence à sua imagem.
Para o primeiro par ordenado vamos escolher aquele onde x = 0. Substituindo x por 0 na regra de associação ou lei de formação da função, temos:

Então o nosso par ordenado será (0, 5) representado no gráfico ao lado pelo ponto A:
Voltando ao problema da apostila, o ponto (0, 5) do gráfico da função nos indica que caso a apostila não tenha nenhuma página, o seu custo será de R$ 5,00 referentes ao custo da capa, contra-capa e da encadernação apenas.
Para o outro par ordenado, arbitrariamente podemos escolher o ponto com abscissa igual a 4 e realizarmos os cálculos como no caso do primeiro ponto, agora trocando x por 4:

Tal ponto pode ser observado neste outro gráfico, representado pelo ponto B:
O ponto (4, 7) do gráfico da função nos aponta que o custo de uma apostila com 4 páginas é de R$ 7,00.
Como sabemos que o gráfico de uma função polinomial do 1° grau é uma reta, basta traçarmos uma reta unindo tais pontos, como podemos ver no gráfico abaixo:


Observe que obtivemos o mesmo gráfico do início das explicações deste tópico.
Neste exemplo partimos da lei de formação da função, escolhemos arbitrariamente dois pontos conhecidos e a partir deles montamos o gráfico da função. Agora vamos obter a regra de associação da função a partir de quaisquer dois pontos conhecidos pertencentes à função.

Raiz da Função Afim

Observe no gráfico acima que a reta da função intercepta o eixo das abscissas no ponto (-10, 0).
Este valor de x = -10 que leva a y = 0 é denominado raiz da função ou zero da função.
Sendo a função, para encontramos a sua raiz basta substituirmos y por 0 e solucionarmos a equação do primeiro grau obtida:

Obtendo a Lei de Formação de uma Função Afim a partir de Dois Pontos da Reta

No gráfico acima vemos que o ponto (0, 5) pertence à função, então na sentença podemos trocar x por 0 e y por 5, quando então iremos obter que b = 5:

Novamente segundo o gráfico o ponto (-10, 0) também pertence à função e já que b = 5 temos:

Observe que substituímos y, x e b por 0, -10 e 5 respectivamente, obtendo a = ¹/₂.
Visto que a = ¹/₂ e b = 5, temos:

Portanto a função cujo gráfico passa pelos pontos (-10, 0) e (0, 5) é definida por:

Exatamente como havíamos visto no começo da matéria.
Vale ressaltar que chegaríamos à mesma definição da função, quaisquer que fossem os dois pontos distintos pertencentes a reta exemplo, que utilizássemos na realização dos cálculos.