Uma sucessão de números na qual a diferença entre dois termos consecutivos é constante, é denominada
progressão aritmética, ou abreviadamente de
P.A.
Representação de uma P.A.
Representando por
a1 o primeiro elemento, por
a2 o segundo elemento de uma P.A. e assim sucessivamente, até o último elemento que é representado por
an, temos a seguinte representação para uma progressão aritmética:
P.A. (
a1,
a2,
a3,
a4, ...,
an ).
A representação acima se refere a uma P.A. finita com
n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte representação:
P.A. (
a1,
a2,
a3,
a4,
...,
an,
... ).
Terminologia
P.A. (
5,
7,
9,
11,
13,
15 )
Acima temos a representação de uma progressão aritmética finita.
Um termo qualquer é identificado por
an, onde
n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo
a4 se refere ao quarto termo desta P.A., que no caso é igual a
11, já o primeiro termo,
a1, nesta P.A. é igual a
5.
Como supracitado, a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.A. é constante. Neste exemplo este valor é igual a
2, por exemplo, a diferença entre o primeiro e o segundo termo é igual a
2.
Este valor constante que é a diferença entre um termo e outro é denominado
razão da progressão aritmética e é representado pela letra
r.
Se representamos um termo qualquer de uma P.A. por
an, então podemos dizer que o seu antecedente é igual a
an - 1 e que o seu consequente é igual a
an + 1.
Desta forma podemos dizer que
r = an + 1 - an, ou ainda
r = an - an - 1.
Veja os seguintes exemplos:
r = a4 - a3 = 11 - 9 = 2 e ainda
r = a3 - a2 = 9 - 7 = 2.
Além disto temos que um termo qualquer de uma P.A. é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente:
Progressão aritmética constante
Uma progressão aritmética é constante quando a sua razão é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.A. têm o mesmo valor.
Exemplos:
P.A. (
0,
0,
0,
... )
P.A. (
3,
3,
...,
3 )
P.A. (
7,
7,
7 )
Note que em todas as progressões acima
r = 0.
Progressão aritmética crescente
Uma progressão aritmética é crescente quando a sua razão é maior
que zero, ou seja, quando o consequente de um termo qualquer é maior que
este termo.
Exemplos:
P.A. (
1,
2,
3,
... )
P.A. (
15,
21,
27,
... )
P.A. (
-16,
-12,
-8 )
Note que a razão das progressões acima, respectivamente
1,
6 e
4 são todas maiores que zero.
Progressão aritmética decrescente
Uma progressão aritmética é decrescente quando a sua razão é
menor que zero, ou em outras palavras, quando o consequente de um termo
qualquer é menor que este termo.
Exemplos:
P.A. (
31,
29,
27,
... )
P.A. (
75,
68,
61,
... )
P.A. (
9,
0,
-9 )
Veja que a razão das progressões acima, respectivamente
-2,
-7 e
-9 são todas menores que zero.
Fórmula do termo geral de uma P.A.
Como sabemos, o próximo termo de um termo de uma P.A. é igual ao referido termo mais a razão
r. Para uma P.A. genérica podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo,
a1, mais a razão
r:
O terceiro termo é resultado da soma do segundo termo com a razão:
Mas vimos que
a2 = a1 + r, substituindo-o na expressão temos:
O quarto termo é resultado da soma do terceiro termo com a razão e como sabemos que
a3 = a1 + 2r, temos:
Seguindo este raciocínio, o quinto termo será:
O sexto termo será:
Resumidamente temos:
Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é:
Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro?
Vejamos:
Na fórmula do termo geral da P.A., subtraímos
1 de
n quando partimos do termo
a1, perceba que quando partimos do termo
a2, subtraímos
2 de
n, assim como subtraímos
3 ao partirmos de
a3 e
4 quando partirmos de
a4. Partindo então de um termo
m, podemos reescrever a fórmula do termo geral da P.A. como:
Compreendendo a fórmula do termo geral da P.A. em função de qualquer termo
Como é de costume vamos a um exemplo para que a explicação fique de mais fácil entendimento.
Através da fórmula acima, vamos expressar o termo
a5 de uma P.A. genérica, em função do termo
a3:
Temos então que o termo
a5 pode ser expresso em função do termo
a3 como:
Embora seja óbvio, se não formos alertados, talvez não percebamos o que de fato a fórmula faz. Vejamos:
Sabemos que o próximo termo após
a3, é o termo
a4, que equivale a
a3 mais
r, para chegarmos ao próximo termo, o
a5, somamos mais outra vez a razão
r, ou seja, como nos deslocamos duas posições à direita, acrescentamos
2r ao termo
a3 para chegarmos ao termo
a5. Veja que foi exatamente este o resultado obtido em função da fórmula, ou seja,
a5 = a3 + 2r.
Agora para que vejamos como este raciocínio é bem mais prático que recorrermos à formula, vamos voltar de
a5 para
a3:
Agora o termo procurado está à esquerda do termo atual, na verdade duas posições à sua esquerda, então vamos subtrair de
a5 duas vezes a razão, temos então que
a3 = a5 - 2r.
Apenas para confirmação, vemos na sentença abaixo que através da fórmula chegamos ao mesmo resultado:
Em resumo, se partindo do termo atual iremos avançar
n termos à direita, para chegarmos ao termo final, então temos que somar
n vezes a razão
r ao termo inicial. Se nos deslocarmos à esquerda, o procedimento é semelhante, só que ao invés de somarmos, iremos subtrair
n vezes a razão
r ao termo inicial.
Podemos afirmar, por exemplo, que
a17 = a7 + 10r, pois avançamos 10 termos de
a7 a
a17, assim como
a20 = a25 - 5r, pois retrocedemos 5 termos de
a25 para
a20.
Soma dos termos de uma P.A.
Para expormos o raciocínio iremos utilizar a primeira P.A. utilizada como exemplo:
P.A. (
5,
7,
9,
11,
13,
15 )
Qual é a soma dos seus termos?
Primeiramente vamos escrevê-la em ordem contrária:
P.A. (
15,
13,
11,
9,
7,
5 )
Agora vamos montar uma outra P.A. cujo termo
an seja a soma do termo
an desta duas progressões:
P.A. (
20,
20,
20,
20,
20,
20 )
Repare as somas são todas iguais, isto ocorre porque a soma de
dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma
dos seus extremos. Como neste caso os extremos são
5 e
15, temos que a soma de dois termos quaisquer equidistantes dos extremos será igual a
20.
Tendo em vista que temos seis termos nesta P.A, multiplicando
6 por
20, nos dará
120 que equivale a justamente o dobro da soma dos termos da P.A.
A divisão de
120 por
2 nos dará a soma dos termos desta P.A. que é igual a
60.
Generalizando temos que a soma de todos os termos de uma
progressão aritmética é igual ao produto do número de termos pela metade
da soma do primeiro com o n-ésimo termo. Em notação matemática temos:
Observe que esta fórmula nos permite calcular a soma de todos os termos de uma P.A., ou a soma de apenas os
n primeiros termos da mesma.
Se não dispusermos de
an, desde que tenhamos a razão
r, podemos utilizar esta outra fórmula abaixo, que foi deduzida simplesmente se substituindo
an por seu respectivo valor
a1 + (n - 1)r:
Mas se ao invés de somarmos todos os elementos da P.A., quiséssemos somar apenas os termos do terceiro ao quinto por exemplo?
Neste caso é como se tivéssemos a seguinte P.A.:
P.A. (
9,
11,
13 )
Recorrendo à fórmula temos:
Mas veja que podemos expressar a fórmula da soma dos termos da seguinte maneira:
Note que declaramos como
p e
q a posição do primeiro e do último termo do intervalo respectivamente, declarando assim
ap como o primeiro termo do intervalo e
aq
como o último. Note também que o número de termos do intervalo
considerado é igual à diferença entre as posições do último e do
primeiro termo considerado, mais um.
Aplicando esta nova fórmula temos:
Exemplos de problemas envolvendo Progressão Aritmética
Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?
Identificando as variáveis do problema temos:
Como conhecemos o primeiro termo e a razão da P.A., através da fórmula do termo geral iremos calcular o valor do vigésimo termo:
Logo:
O vigésimo termo da referida P.A. é igual a 136.
Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 30?
Sabemos que a diferença entre um número ímpar e o seu antecedente igual a
2. Este é o valor da razão.
O primeiro número ímpar do intervalo informado é
11 é o último é
29, portanto temos as seguintes variáveis:
Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos
identificar quantos termos são. Através da fórmula do termo geral iremos
obter o número de termos da sucessão:
Agora que sabemos que a sucessão possui
10 termos, podemos calcular a sua soma:
Portanto:
A soma dos números ímpares entre 10 e 30 é igual a 200.
