Representação de uma P.A.
Representando por a1 o primeiro elemento, por a2 o segundo elemento de uma P.A. e assim sucessivamente, até o último elemento que é representado por an, temos a seguinte representação para uma progressão aritmética:P.A. ( a1, a2, a3, a4, ..., an ).
A representação acima se refere a uma P.A. finita com n elementos. Caso a sucessão seja infinita, utilizamos a seguinte representação:
P.A. ( a1, a2, a3, a4, ..., an, ... ).
Terminologia
P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )Acima temos a representação de uma progressão aritmética finita.
Um termo qualquer é identificado por an, onde n indica a posição deste termo. Por exemplo, o termo a4 se refere ao quarto termo desta P.A., que no caso é igual a 11, já o primeiro termo, a1, nesta P.A. é igual a 5.
Como supracitado, a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.A. é constante. Neste exemplo este valor é igual a 2, por exemplo, a diferença entre o primeiro e o segundo termo é igual a 2.
Este valor constante que é a diferença entre um termo e outro é denominado razão da progressão aritmética e é representado pela letra r.
Se representamos um termo qualquer de uma P.A. por an, então podemos dizer que o seu antecedente é igual a an - 1 e que o seu consequente é igual a an + 1.
Desta forma podemos dizer que r = an + 1 - an, ou ainda r = an - an - 1.
Veja os seguintes exemplos: r = a4 - a3 = 11 - 9 = 2 e ainda r = a3 - a2 = 9 - 7 = 2.
Além disto temos que um termo qualquer de uma P.A. é média aritmética entre o seu antecedente e o seu consequente:
Progressão aritmética constante
Uma progressão aritmética é constante quando a sua razão é igual a zero. Neste caso todos os termos da P.A. têm o mesmo valor.Exemplos:
P.A. ( 0, 0, 0, ... )
P.A. ( 3, 3, ..., 3 )
P.A. ( 7, 7, 7 )
Note que em todas as progressões acima r = 0.
Progressão aritmética crescente
Uma progressão aritmética é crescente quando a sua razão é maior que zero, ou seja, quando o consequente de um termo qualquer é maior que este termo.Exemplos:
P.A. ( 1, 2, 3, ... )
P.A. ( 15, 21, 27, ... )
P.A. ( -16, -12, -8 )
Note que a razão das progressões acima, respectivamente 1, 6 e 4 são todas maiores que zero.
Progressão aritmética decrescente
Uma progressão aritmética é decrescente quando a sua razão é menor que zero, ou em outras palavras, quando o consequente de um termo qualquer é menor que este termo.Exemplos:
P.A. ( 31, 29, 27, ... )
P.A. ( 75, 68, 61, ... )
P.A. ( 9, 0, -9 )
Veja que a razão das progressões acima, respectivamente -2, -7 e -9 são todas menores que zero.
Fórmula do termo geral de uma P.A.
Como sabemos, o próximo termo de um termo de uma P.A. é igual ao referido termo mais a razão r. Para uma P.A. genérica podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro termo, a1, mais a razão r:
O terceiro termo é resultado da soma do segundo termo com a razão:
Mas vimos que a2 = a1 + r, substituindo-o na expressão temos:
O quarto termo é resultado da soma do terceiro termo com a razão e como sabemos que a3 = a1 + 2r, temos:
Seguindo este raciocínio, o quinto termo será:
O sexto termo será:
Resumidamente temos:
Portanto, partindo-se do primeiro termo, a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é:
Mas e se partirmos de outro termo que não o primeiro?
Vejamos:
Na fórmula do termo geral da P.A., subtraímos 1 de n quando partimos do termo a1, perceba que quando partimos do termo a2, subtraímos 2 de n, assim como subtraímos 3 ao partirmos de a3 e 4 quando partirmos de a4. Partindo então de um termo m, podemos reescrever a fórmula do termo geral da P.A. como:
Compreendendo a fórmula do termo geral da P.A. em função de qualquer termo
Como é de costume vamos a um exemplo para que a explicação fique de mais fácil entendimento.Através da fórmula acima, vamos expressar o termo a5 de uma P.A. genérica, em função do termo a3:
Temos então que o termo a5 pode ser expresso em função do termo a3 como:
Embora seja óbvio, se não formos alertados, talvez não percebamos o que de fato a fórmula faz. Vejamos:
Sabemos que o próximo termo após a3, é o termo a4, que equivale a a3 mais r, para chegarmos ao próximo termo, o a5, somamos mais outra vez a razão r, ou seja, como nos deslocamos duas posições à direita, acrescentamos 2r ao termo a3 para chegarmos ao termo a5. Veja que foi exatamente este o resultado obtido em função da fórmula, ou seja, a5 = a3 + 2r.
Agora para que vejamos como este raciocínio é bem mais prático que recorrermos à formula, vamos voltar de a5 para a3:
Agora o termo procurado está à esquerda do termo atual, na verdade duas posições à sua esquerda, então vamos subtrair de a5 duas vezes a razão, temos então que a3 = a5 - 2r.
Apenas para confirmação, vemos na sentença abaixo que através da fórmula chegamos ao mesmo resultado:
Em resumo, se partindo do termo atual iremos avançar n termos à direita, para chegarmos ao termo final, então temos que somar n vezes a razão r ao termo inicial. Se nos deslocarmos à esquerda, o procedimento é semelhante, só que ao invés de somarmos, iremos subtrair n vezes a razão r ao termo inicial.
Podemos afirmar, por exemplo, que a17 = a7 + 10r, pois avançamos 10 termos de a7 a a17, assim como a20 = a25 - 5r, pois retrocedemos 5 termos de a25 para a20.
Soma dos termos de uma P.A.
Para expormos o raciocínio iremos utilizar a primeira P.A. utilizada como exemplo:P.A. ( 5, 7, 9, 11, 13, 15 )
Qual é a soma dos seus termos?
Primeiramente vamos escrevê-la em ordem contrária:
P.A. ( 15, 13, 11, 9, 7, 5 )
Agora vamos montar uma outra P.A. cujo termo an seja a soma do termo an desta duas progressões:
P.A. ( 20, 20, 20, 20, 20, 20 )
Repare as somas são todas iguais, isto ocorre porque a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à soma dos seus extremos. Como neste caso os extremos são 5 e 15, temos que a soma de dois termos quaisquer equidistantes dos extremos será igual a 20.
Tendo em vista que temos seis termos nesta P.A, multiplicando 6 por 20, nos dará 120 que equivale a justamente o dobro da soma dos termos da P.A.
A divisão de 120 por 2 nos dará a soma dos termos desta P.A. que é igual a 60.
Generalizando temos que a soma de todos os termos de uma progressão aritmética é igual ao produto do número de termos pela metade da soma do primeiro com o n-ésimo termo. Em notação matemática temos:
Observe que esta fórmula nos permite calcular a soma de todos os termos de uma P.A., ou a soma de apenas os n primeiros termos da mesma.
Se não dispusermos de an, desde que tenhamos a razão r, podemos utilizar esta outra fórmula abaixo, que foi deduzida simplesmente se substituindo an por seu respectivo valor a1 + (n - 1)r:
Mas se ao invés de somarmos todos os elementos da P.A., quiséssemos somar apenas os termos do terceiro ao quinto por exemplo?
Neste caso é como se tivéssemos a seguinte P.A.:
P.A. ( 9, 11, 13 )
Recorrendo à fórmula temos:
Mas veja que podemos expressar a fórmula da soma dos termos da seguinte maneira:
Note que declaramos como p e q a posição do primeiro e do último termo do intervalo respectivamente, declarando assim ap como o primeiro termo do intervalo e aq como o último. Note também que o número de termos do intervalo considerado é igual à diferença entre as posições do último e do primeiro termo considerado, mais um.
Aplicando esta nova fórmula temos:
Exemplos de problemas envolvendo Progressão Aritmética
Qual é o vigésimo termo da P.A. ( 3, 10, 17, ... )?
Como conhecemos o primeiro termo e a razão da P.A., através da fórmula do termo geral iremos calcular o valor do vigésimo termo:
Logo:
O vigésimo termo da referida P.A. é igual a 136.Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 30?O primeiro número ímpar do intervalo informado é 11 é o último é 29, portanto temos as seguintes variáveis:
Para calcularmos a soma dos termos, primeiramente precisamos identificar quantos termos são. Através da fórmula do termo geral iremos obter o número de termos da sucessão:
Agora que sabemos que a sucessão possui 10 termos, podemos calcular a sua soma:
Portanto:
A soma dos números ímpares entre 10 e 30 é igual a 200.
Fonte: http://www.matematicadidatica.com.br/ProgressaoAritmetica.aspx - consulta em 25/03/14
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