Geometria Analítica - II

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB. Temos:

x_P – x_A = 2*(x_M – x_A)
x_B – x_A = 2*(x_M – x_A)
x_B – x_A = 2x_M – 2x_A
2x_M = x_B – x_A + 2x_A
2x_M = x_A + x_B
x_M = (x_A + x_B)/2

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que y_M = (y_A + y_B )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.

Exemplo 1

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

x_A = 4
y_A = 6
x_B = 8
y_B = 10

x_M = (xA + xB) / 2
x_M = (4 + 8) / 2
x_M = 12/2
x_M = 6

y_M = (yA + yB) / 2
y_M = (6 + 10) / 2
y_M = 16 / 2
y_M = 8

As coordenadas do ponto médio do segmento A_B é x_M (6, 8).


Exemplo 2

Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.

x_M = [5 + (–2)] / 2
x_M = (5 – 2) / 2
x_M = 3/2

y_M = [1 + (–9)] / 2
y_M = (1 – 9) / 2
y_M = –8/2
y_M = –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.



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