Sequências Numéricas

Breve relato histórico

Muitos são os nomes de pessoas que dedicaram suas vidas à descoberta e ao aperfeiçoamento da matemática. Elas são dos mais variados ramos do conhecimento humano, mas que compartilham entre si um desejo comum: o manuseio dos números e das formas. A matemática recebe, em sua plataforma de estudo, advogados, filósofos, físicos, químicos, engenheiros, matemáticos e muitos outros profissionais ou amantes desta ciência milenar, que é marcada pela importância no desenvolvimento planetário ou, ainda além, universal.
Em 1789, na cidade de Paris, França, nascia o professor, engenheiro e matemático Augustin-Louis Cauchy. Ele estudou na Escola Politécnica de Paris, onde depois tonou-se professor. Cauchy foi um dos mais importantes matemáticos de todos os tempos, tendo importantes descobertas, principalmente no campo da Matemática Pura. Pode-se afirmar que Cauchy  é um dos fundadores do Cálculo com Variáveis Complexas, assim como tem papel marcante no Cálculo Elementar, Teoria dos Determinantes e nas Séries Infinitas, sendo estas responsáveis pelo desenvolvimento da Teoria das Funções.

Definindo sequência/sucessão

Observe a informação que darei a seguir e compreenda a ideia prática de sucessão ou sequência.
A Copa do Mundo de 2010, realizada na África do Sul, teve como campeã, ou seja, em primeiro lugar, a Espanha; no segundo lugar, a Holanda; no terceiro lugar a Alemanha e no quarto, Uruguai. Estes dados podem ser mais bem visualizados se utilizarmos representações de ordem. Vejam:

• 1° lugar – Espanha
• 2° lugar – Holanda
• 3° lugar – Alemanha
• 4° lugar – Uruguai

Sabendo destas informações, poderíamos escrever a ordem de classificação desta Copa da seguinte maneira: Espanha, Holanda, Alemanha, Uruguai. Ainda segundo essa ideia, temos, por exemplo, que os dias segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo, representam a sequência ou sucessão de dias de uma semana.

DEFINIÇÃO

Toda função/relação cujo domínio (conjunto de partida) é o conjunto dos números naturais é também uma sequência ou sucessão.

Sequência ou sucessão numérica

DEFINIÇÃO

Sequência numérica é uma sequência ou sucessão que tem como contradomínio (conjunto de chegada) o conjunto dos números reais.

As sequências numéricas podem ser finitas, quando é possível “contar” os seus elementos, ou infinitas, quanto não é possível “contar” os seus elementos. Visualize, nos dois casos, as representações matemáticas.

• Sequência finita: (a₁, a₂, a₃, ..., a_n)
• Sequência infinita: (a₁, a₂, a₃, ..., a_n,...)

Leitura dos termos acima:

• a_{1 →} a índice 1 (primeiro termo)
• a_2 → a índice 2 (segundo termo)
• a_{3 →} a índice 3 (terceiro termo)
• a_{n →} a índice n (enésimo termo)

Veja exemplos de sequências finitas e infinitas:

• Sequência finita: (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19)
• Sequência infinita (3, 5, 7, 11, 13, 17,...)

Verificação da aprendizagem

• Dada a sequência definida por a_n = 4n – 1, com n Є N*, calcule:

a)      a₃ – a₁
Lembre-se de que o domínio desta sequência é N* (naturais não nulos), sendo assim, o primeiro termo (a₁) é 1.

• Para n = 1, temos: a₁ = 4x1 – 1 = 3
• Para n = 3, temos: a₃ = 4x3 – 1 = 11
• a₃ – a₁ = 11 – 3 = 8

b)      (a₅)² + (a₆)²
Mais uma vez considerando que o conjunto domínio é N*, temos:

• Para n = 5, temos: a₅ = 4x5 – 1 = 19
• Para n = 6, temos: a₆ = 4x6 – 1 = 23
• 19² + 23² = 890

• Escreva os quatro primeiros termos das sequências dadas pelos termos gerais, sendo n Є N*.

a)      a_n = 3n – 1

• Para n = 1, temos: a₁ = 3x1 – 1 = 2
• Para n = 2, temos: a₂ = 3x2 – 1 = 5
• Para n = 3, temos: a₃ = 3x3 – 1 = 8
• Para n = 4, temos: a₄ = 3x4 – 1 = 11

Conclusão: (2, 5, 8, 11)
b)      a_n = 2^{n - 1}

• Para n = 1, temos: a₁ = 2^{1 – 1} = 1
• Para n = 2, temos: a₂ = 2^{2 – 1} = 2
• Para n = 3, temos: a₃ = 2^{3 – 1} = 4
• Para n = 4, temos: a₄ = 2^{4 – 1} = 8

Conclusão: (1, 2, 4, 8)

Considerações finais

            Aos caros leitores, deixo claro que este trabalho é apenas uma introdução ao conceito de sequência que, um pouco mais adiante, contemplará as ideias e operações das Progressões Aritméticas e/ou Geométricas, as famosas P.A e P.G. Ciente da importância dessas duas temáticas, escreverei sobre elas em meus próximos trabalhos. Porém, esta introdução deverá ser lida e estudada como pré-requisito a um estudo mais detalhado do tema em discussão.

“Cada passo dado num longo caminho reduz o espaço que nos separa da chegada”
(Robison Sá)