Resumo de aulas - 15/05/13

Turma: 3º D

Recuperação contínua de conteúdos: posições relativas entre duas retas no plano. Devolução das avaliações corrigidas e correção parcial das questões.

Turma: 1º E

Correção das atividades da aula anterior.  Resolução, visto e correção das atividades do caderno do aluno, páginas 12 a 14 - Gráficos de funções.

Turma: 3º C

Explicações e correção de dois exercícios da atividade em grupo que geraram maiores dúvidas. 
Equação geral da circunferência.

Para complementar os estudos:

No estudo da equação reduzida da circunferência, vimos uma expressão em que os pontos do centro da circunferência estão explicitados. 

Entretanto, poderemos ter equações do segundo grau com duas incógnitas que podem representar a equação de uma circunferência. Para isso, desenvolveremos os quadrados da equação reduzida.

Como dito anteriormente, podemos retirar as informações necessárias (coordenadas do centro da circunferência e o raio) para a construção da circunferência de forma direta. Desse modo, (x_c,y_c) é o centro da circunferência e r é o raio.



Desenvolvendo os quadrados.

Desta expressão podemos obter as coordenadas do centro e o raio da circunferência, ou seja:

• do termo -2xcx, observamos que o coeficiente do x é igual a -2xc, sendo assim, podemos obter a coordenada x do centro
• do termo -2ycy, observamos que o coeficiente do y é igual a -2yc, sendo assim, podemos obter a coordenada y do centro
• do termo evidenciado com parênteses podemos obter o valor do raio.

Essa expressão é denominada equação geral da circunferência.

 

Exemplo:

Encontre a equação geral da circunferência centrada em (1,1) e raio 4.

De fato, a expressão geral da circunferência não deve ser decorada, afinal é possível obter essa expressão partindo da equação reduzida, sendo que esta é mais fácil de ser expressa.

 

De modo inverso, vamos obter o centro e o raio:

 

Coeficiente do x: -2,  então, -2xc = -2, logo xc=1   

Coeficiente do y: -2, então , -2yc = -2, logo yc=1

xc^2 + yc^2 - r^2  (que é a expressão entre parênteses acima citada) = -14

Conhecemos as coordenadas do centro, então, fazendo as substituições:

1 + 1 - r^2 = -14  logo,    1+1+14=r^2     r^2=16  e r=4

 

Turma: 3º A

Posições relativas entre ponto e circunferência.

Para complementar seus estudos:

Quanto à circunferência, sabe-se que todos os pontos dela distam igualmente do centro, essa distância igual é denominada de raio. Em comparação com esse raio, ou seja, com os elementos que pertencem à circunferência, podemos ter 3 posições a serem estudadas entre um ponto e uma circunferência.

 

Para estudar essas posições relativas determinemos uma circunferência λ de centro C(Xc, Yc) e raio r. Analisaremos a posição relativa de um ponto P qualquer em relação a essa circunferência λ.

 

 

• Ponto P interno à circunferência: isso implica que a distância do ponto P até o centro é menor do que o raio da circunferência. 

 

• Ponto P externo à circunferência: neste caso teremos que a distância do ponto P até o centro é maior do que o raio

 

 

• Ponto P pertence à circunferência: por fim, temos o caso no qual a distância do ponto P ao centro é igual ao raio.

 

 

Portanto, quando se conhece o raio da circunferência e deseja-se analisar a posição relativa de um ponto a uma determinada circunferência, basta comparar a distância do Ponto ao centro da circunferência com o valor do raio, feito isso você será capaz de determinar as posições relativas. Com isso é necessário saber como se calcula a distância entre dois pontos, esse estudo você pode acompanhar no artigo Distância entre dois Pontos.

Vejamos algumas situações para realizar esse tipo de análise quanto às posições relativas entre um ponto e uma circunferência.
“Analise as posições relativas entre os pontos dados e a circunferência λ: (x+1)² + (y+1)²=9 , cujos pontos são: A(-2,2). B (-4,1), D(1,1), E(-4,-1)”

 

Devemos obter duas informações necessárias para realizar os cálculos, que são as coordenadas do Centro da circunferência e o raio, da equação reduzida podemos obter facilmente essas duas informações: C (-1, -1) e raio 3.

Basta calcular as distâncias dos pontos até o centro e comparar com o raio.

Vejamos a representação gráfica das posições relativas desses pontos em relação à circunferência.

Veja que apenas com o conceito de distância entre pontos foi possível abordar vários temas da geometria analítica. A distância entre pontos está presente em praticamente toda a geometria analítica, se não, em toda ela.